数学丨几何最难的辅助线添加规律

几何最难的地方就是辅助线的添加了，但是对于添加辅助线，还是有规律可循的。

    三角形中常见辅助线的添加

1、与角平分线有关的   

    （1） 可向两边作垂线。   

    （2）可作平行线，构造等腰三角形。  

    （3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。

2、与线段长度相关的 

    （1） 截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可  。

    （2） 补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可。

    （3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。

    （4）遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。  

3、与等腰等边三角形相关的 

    （1）考虑三线合一。   

    （2）旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60 °。

四边形中常见辅助线的添加

    特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需 要添加辅助线。下面介绍一些辅助线的添加方法。

1、和平行四边形有关的辅助线作法。

    平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形。

    （1） 利用一组对边平行且相等构造平行四边形。

    （2）利用两组对边平行构造平行四边形。

    （3）利用对角线互相平分构造平行四边形。

2、与矩形有辅助线作法。

    （1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题。

    （2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少。

3、和菱形有关的辅助线的作法。

    和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题。

    （1）作菱形的高。

    （2）连结菱形的对角线。 

4、与正方形有关辅助线的作法 。

    正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多。

    解决正 方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线。

圆中常见辅助线的添加

1、遇到弦时（解决有关弦的问题时）。

    常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

    作用： 

    ① 利用垂径定理。

    ② 利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系。

    ③ 利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

2、遇到有直径时，常常添加（画）直径所对的圆周角。

    作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。

3、遇到90度的圆周角时 ，常常连结两条弦没有公共点的另一端点。

    作用：利用圆周角的性质，可得到直径。

4、遇到弦时，常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，

    还可连结圆周上一点和弦的两个端点 

    作用：

    ①可得等腰三角形。

    ②据圆周角的性质可得相等的圆周角。

5、遇到有切线时，常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）。

    作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形

    常常添加连结圆上一点和切点。

    作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。

6、遇到证明某一直线是圆的切线时。

    （1） 若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。

    作用：若OA=r，则l为切线。

    （2） 若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）。

    作用：只需证OA⊥l，则l为切线。

    （3） 有遇到圆上或圆外一点作圆的切线。

7、遇到两相交切线时（切线长）。

    常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。

    作用：据切线长及其它性质，可得到。

    ① 角、线段的等量关系。

    ② 垂直关系。

    ③ 全等、相似三角形。

8、遇到三角形的内切圆时。

    连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。

    作用：利用内心的性质，可得。

    ① 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线。

    ② 内心到三角形三条边的距离相等。

9、遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点。

    作用：外心到三角形各顶点的距离相等。

10、遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题）。

    常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。

    作用：

    ①利用切线的性质；

    ②利用解直角三角形的有关知识。

11、遇到两圆相交时  常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。     

    作用：

    ①利用连心线的性质、解直角三角形有关知识。

    ②利用圆内接四边形的性质。

    ③利用两圆公共的圆周的性质。

    ④垂径定理。

12、遇到两圆相切时。

    常常作连心线、公切线。

    作用：

    ①利用连心线性质。

    ②切线性质等。

13、遇到三个圆两两外切时。

    常常作每两个圆的连心线。

    作用：可利用连心线性质。

14、遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时。 

    常常添加辅助圆。

    作用：以便利用圆的性质。

（本文来源于“西安中考网”微信公众号）